Question

19．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（1）求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小；
（2）求点A到平面OBC的距离．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与MD所成角的正切值．
（2）求出平面OBC的法向量，利用向量法能求出点A到平面OBC的距离．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AO为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意O（0，0，2），C（2，2，0），M（0，0，1），D（0，2，0），
$\overrightarrow{OC}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{MD}$=（0，2，-1），
设异面直线OC与MD所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{MD}|}{|\overrightarrow{OC}|•|\overrightarrow{MD}|}$=$\frac{|6|}{\sqrt{12}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴tanθ=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
∴异面直线OC与MD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）A（0，0，0），O（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0）
$\overrightarrow{BA}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{OB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{OC}$=（2，2，-2），
设平面OBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=2x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=2x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴点A到平面OBC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．