Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°．
（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；
（2）求点C₁到平面A₁CB的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥BB₁，AB⊥BC，由此能证明平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．
（2）由已知得C₁到平面A₁BC的距离即为B₁到平面A₁BC的距离，由此能求出C₁到平面A₁BC的距离．

解答 证明：（1）∵四边形BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁，
又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A₁ABB₁，
∵BC?平面CA₁B，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．
解：（2）∵B₁C₁∥BC₁，∴B₁C₁∥平面A₁BC，
∴C₁到平面A₁BC的距离即为B₁到平面A₁BC的距离，
连结AB₁，AB₁与A₁B交于点O，
∵四边形A₁ABB₁是菱形，∴B₁O⊥A₁B，
∵CA₁B⊥平面A₁ABB₁，∴B₁O⊥平面A₁BC，∴B₁O即为C₁到平面A₁BC的距离，
∵B₁O=2$\sqrt{3}$，
∴C₁到平面A₁BC的距离为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．