Question

19．如图，直线PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PD=AD，求直线PA与BD所成角的大小．

Answer 1

分析 令PD=AD=1，取PD中点为E，AD中点为F，AB中点为M，连结EF、EM、FM，由已知推导出∠EFM就是直线PA与BD所成角或其补角，由此能求出直线PA与BD所成角的大小．

解答 （本题满分12分）
解：令PD=AD=1，取PD中点为E，AD中点为F，AB中点为M，
连结EF、EM、FM，
则EF∥PA，FM∥BD，
∴∠EFM就是直线PA与BD所成角或其补角．…（4分）
又∵在△EFM中，EF=$\frac{1}{2}AP$=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
FM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
连结DM，得EM=$\sqrt{D{M}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠EFM=$\frac{E{F}^{2}+F{M}^{2}-M{E}^{2}}{2×EF×MF}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠EFM=120°，…（10分）
∴直线PA与BD所成角的大小为60°．…（12分）

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．