Question

14．已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）²+y²=4上运动．
（Ⅰ）求线段AB的中点轨迹方程M；
（Ⅱ）求轨迹M上的点到点P（5，4）的最小距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设线段AB中点M（x，y），A（x₁，y₁），由题意知x₁=2x-4，y₁=2y-3，由点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，能求出点M的轨迹方程．
（Ⅱ）求出轨迹M的圆心C到P的距离，减去半径，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设线段AB中点M（x，y），A（x₁，y₁），
由题意知：x₁=2x-4，y₁=2y-3，
∵点A在圆（x+1）²+y²=4上运动，
∴（2x-4+1）²+（2y-3）²=4，
整理，得（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1．
（Ⅱ）（x-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{3}{2}$）²=1表示以C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）为圆心，1为半径的圆，
∵CP=$\sqrt{（5-\frac{3}{2}）^{2}+（4-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{74}}{2}$，
∴轨迹M上的点到点P（5，4）的最小距离为$\frac{\sqrt{74}}{2}$-1．

点评 本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．