Question

若直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=1相切，则ab的最小值是

2

．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于a与b的关系式，利用基本不等式化简后，得到关于ab的不等式，求出不等式的解集得到ab的范围，即可确定出ab的最小值．

解答：解：由圆x²+y²=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，
∵直线ax+by=ab（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=1相切，
∴圆心到直线的距离d=r，即

ab

a2+b2

=1，即ab=

a2+b2

，
又

a2+b2

≥

2ab

，当且仅当a=b时取等号，
∴ab≥

2ab

，即（ab）²≥2ab，
变形得：ab（ab-2）≥0，又a＞0，b＞0，
可化为：

ab＞0 ab-2≥0

，
解得：ab≥2，
则ab的最小值为2．
故答案为：2

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．