Question

若直线ax+by-1=0（a，b∈（0，+∞））平分圆x²+y²-2x-2y-2=0，则

1

a

+

2

b

的最小值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：由题意可得直线经过圆的圆心，故有a+b=1，从而

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=3+

b

a

+

2a

b

，利用基本不等式，即可求得结论．

解答：解：∵直线ax+by-1=0（a，b∈（0，+∞））平分圆x²+y²-2x-2y-2=0，
∴直线ax+by-1=0经过圆x²+y²-2x-2y-2=0的圆心（1，1），
∴a+b=1，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=3+

b

a

+

2a

b

∵a，b∈（0，+∞），∴

b

a

+

2a

b

≥2

b a × 2a b

=2

2

当且仅当

b

a

=

2a

b

时，

b

a

+

2a

b

的最小值为2

2

∴

1

a

+

2

b

的最小值是3+2

2

故答案为：3+2

2

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．