Question

15．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v²；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为$\frac{v}{2}$（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．
（1）将y表示为v的函数；
（2）试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接求解y表示为v的函数．
（2）利用基本不等式求解函数的最值即可．

解答 解：（1）①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为v²；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为$\frac{v}{2}$（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．
$y=\frac{30}{v}•{v^2}+5×0.4+\frac{30}{{\frac{v}{2}}}•0.2=2+30v+\frac{12}{v}（v＞0）$…（8分）
（2）$y=2+30v+\frac{12}{v}≥2+2\sqrt{30v•\frac{12}{v}}=2+12\sqrt{10}$…（12分）
当且仅当$30v=\frac{12}{v}$即$v=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$时取等号                               …（15分）
答：当下潜速度为$v=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$时，总用氧量最少．                       …（16分）

点评 本题考查实际问题的求解方法，考查转化思想以及计算能力．