Question

9．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ．
（1）求直线l和圆C的普通方程，
（2）求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t为参数），消去t即可得出普通方程．
由圆C的极坐标方程ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）由（x-2）²+y²=4可得圆心C（2，0），半径r=2．求出圆心C到直线l的距离d．利用直线l被圆C截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t+1}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t为参数），消去t化为x-y-3=0，可得直线l的普通方程；
由圆C的极坐标方程ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（2）由（x-2）²+y²=4可得圆心C（2，0），半径r=2．
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|2-0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴直线l被圆C截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$2\sqrt{4-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线的参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长公式用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．