Question

在R上定义运算：x?y=x（1-y），若?x∈R使得（x-a）?（x+a）＞1成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  2

  ）∪（

  3

  2

  ，+∞）
• B、（-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• C、（-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ）
• D、（-∞，-

  3

  2

  ）∪（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先利用定义把（x-a）?（x+a）整理成-（x-

1

2

）²+a²-a+

1

4

，结合题中不等式解集不是空集，可得函数y=-（x-

1

2

）²+a²-a+

1

4

的最大值大于1，由二次函数的性质得：f（

1

2

）=a²-a+

1

4

＞1成立，解之可得a＜-

1

2

或a＞

3

2

．

解答：解：由题知（x-a）?（x+a）=（x-a）[1-（x+a）]=-x²+x+a²-a=-（x-

1

2

）²+a²-a+

1

4

．
∴?x∈R，使得不等式（x-a）?（x+a）＞1成立，
转化为函数y=-（x-

1

2

）²+a²-a+

1

4

的最大值大于1，
即f（

1

2

）=a²-a+

1

4

＞1成立，解之可得a＜-

1

2

或a＞

3

2

．
故选A．

点评：本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．