Question

已知向量

a

=（1+sin2x，sinx-cosx），

b

=（1，sinx+cosx），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（

A

2

）=2，a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）化为y=1+

2

sin（2x-

π

4

），根据函数图象求解．（Ⅱ）知f（

A

2

）=2时，sin（A-

π

4

）=

2

2

，即A=

π

2

+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（1+sin2x，sinx-cosx），

b

=（1，sinx+cosx），
∴f（x）=

a

•

b

=1+sin2x+sin²x-cos²x，
=1+sin2x-cos2x，
=1+

2

sin（2x-

π

4

），
∴当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

即x=

3π

8

+kπ，k∈Z时，
函数取得最大值1+

2

．
（Ⅱ）由（I）知f（

A

2

）=2时，sin（A-

π

4

）=

2

2

，
∴A-

π

4

=2kπ+

π

4

或A-

π

4

=2kπ+

3π

4

，
即A=

π

2

+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，
∵A是三角形的一个内角，
∴A=

π

2

，即△ABC是直角三角形．
∵a=2，∴b²+c²=4，
∴S_△ABC=

1

2

bc≤

b2+c2

4

=1（当且仅当b=c=

2

时，取得最大值），
∴△ABC面积的最大值为1．

点评：本题考查了三角函数的性质，均值不等式的求解，属于难题．