Question

4．如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点M，N分别是PD，DC的中点
（Ⅰ）判断直线MN与平面PAC的位置关系，并给予证明
（Ⅱ）求三棱锥P-AMN的体积．

Answer 1

分析 （I）由中位线定理可得MN∥PC，故而MN∥平面PAC；
（II）用三棱锥P-ADN的体积减去三棱锥M-ADN的体积即可．

解答 解：（I）MN∥平面PAC．
证明：∵M，N是PD，PC的中点，
∴MN∥PC，
∵PC?平面PAC，MN?平面PAC，
∴MN∥平面PAC．
（II）S_△ADN=$\frac{1}{2}AD×DN$=$\frac{1}{2}×2×1=1$，
V_棱锥P-ADN=$\frac{1}{3}{•S}_{△ADN}•PA$=$\frac{2}{3}$，
V_棱锥M-ADN=$\frac{1}{3}•{S}_{△ADN}•\frac{1}{2}PA$=$\frac{1}{3}$．
∴V_棱锥P-AMN=V_棱锥P-ADN-V_棱锥M-ADN=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．