Question

如图，四棱锥中， ∥,，侧面为等边三角形..

（1）证明：
（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值。

Answer 1

（1）详见解析（2）见解析

试题分析：（1）SD与两条相交直线AB、SE都垂直，利用线面垂直的判定定理，所以（2）利用面面垂直的性质定理，作，垂足为F，

则,作，垂足为G，所以AB与平面SBC所成的角等于FG与平面SBC所成的角，进一步利用直角三角形边角关系可得AB与平面SBC所成角的正弦值.
（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。
连结SE，则
又SD=1，故　　　所以为直角。
由，得
所以
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。 所以
（2）由知，作，垂足为F，

则,
作，垂足为G，则FG=DC=1。且，
所以AB与平面SBC所成的角等于FG与平面SBC所成的角。
连结SG，则　
又，,
故，
作，H为垂足，则.
从而FG与平面所成的角为
因为 所以