Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC,AC,，点M在线段PD上.

（1）求证：平面PAC；
（2）若二面角M-AC-D的大小为，试确定点M的位置.

Answer 1

（1）详见解析；（2）点为线段的中点.

试题分析：（1）要证平面，只要证：,由题设平面
得，结合条件，可证平面，从而有，结论可证.
（2）以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示
写出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出点的坐标，从而确定点M的位置.

解证：（1）因为平面， 平面
所以 ,                    2分
又因为，，平面，,
所以平面                              3分
又因为平面，平面，
所以                                   4分
因为，，平面，,
所以 平面                                 6分
（2）因为⊥平面，又由（1）知，
建立如图所示的空间直角坐标系 .则,,，,,
设，,则 ，
故点坐标为,        8分
设平面的法向量为，则       9分
所以
令，则.                          10分
又平面的法向量 
所以,   解得
故点为线段的中点.                          12分