题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=
(a1，q∈R，a1≠0，q≠1)．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若q∈N*，是否存在q的某些取值，使数列{an}中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若q∈R，是否存在q∈[3，+∞），使数列{an}中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．
| a1(1-qn) | 1-q |
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若q∈N*，是否存在q的某些取值，使数列{an}中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若q∈R，是否存在q∈[3，+∞），使数列{an}中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．
分析：（1）利用公式an=
进行讨论，然后综合可得an的通项公式，从而证出数列{an}是公比为q等比数列．
（2）假设存在满足条件的一项能表示为另外三项之和，设an4=an3+an2+an1，经过讨论可变形为qn4-n1-qn3-n1-qn2-n1=1，根据等式两边对q的整除性，可知等式不成立，从而得到不存在满足条件的q值．
（3）用类似（2）的方法，设an4=an3+an2+an1，结合{an}的通项公式和q≥3，利用不等式的性质证明出qn4＞qn3+qn2+qn1恒成立，从而证出等式不成立，从而得到不存在满足条件的q值．
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（2）假设存在满足条件的一项能表示为另外三项之和，设an4=an3+an2+an1，经过讨论可变形为qn4-n1-qn3-n1-qn2-n1=1，根据等式两边对q的整除性，可知等式不成立，从而得到不存在满足条件的q值．
（3）用类似（2）的方法，设an4=an3+an2+an1，结合{an}的通项公式和q≥3，利用不等式的性质证明出qn4＞qn3+qn2+qn1恒成立，从而证出等式不成立，从而得到不存在满足条件的q值．
解答：解：（1）n=1时，a1=S1=a，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=
(qn-qn-1)=aqn-1
∵n=1时，a1=a=aq1-1也符合
∴an=aqn-1(n∈N+)，可得
=q，即数列{an}是公比为q等比数列．
（2）设存在某一项，它能表示为另外三项之和，即an4=an3+an2+an1，
则qn4=qn3+qn2+qn1(q∈N，q≥2)，
易得n4是n1、n2、n3、n4中的最大值，不妨设n4＞n3＞n2＞n1，
两边同除以qn1，整理得：qn4-n1-qn3-n1-qn2-n1=1
因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．
∴不存在q的某些取值，使数列{an}中某一项能表示为另外三项之和
（3）若an4=an3+an2+an1则qn4=qn3+qn2+qn1(q∈R，q≥3)
易得n4是n1、n2、n3、n4中的最大值，不妨设n4＞n3＞n2＞n1，
∵q≥3，qn4=q•qn4-1≥3qn4-1≥3qn3＞qn3+qn2+qn1，
∴an4=an3+an2+an1不成立．
因此，不存在q∈[3，+∞），使数列{an}中，某一项可以表示为另外三项之和．
n≥2时，an=Sn-Sn-1=
| a |
| 1-q |
∵n=1时，a1=a=aq1-1也符合
∴an=aqn-1(n∈N+)，可得
| an+1 |
| an |
（2）设存在某一项，它能表示为另外三项之和，即an4=an3+an2+an1，
则qn4=qn3+qn2+qn1(q∈N，q≥2)，
易得n4是n1、n2、n3、n4中的最大值，不妨设n4＞n3＞n2＞n1，
两边同除以qn1，整理得：qn4-n1-qn3-n1-qn2-n1=1
因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．
∴不存在q的某些取值，使数列{an}中某一项能表示为另外三项之和
（3）若an4=an3+an2+an1则qn4=qn3+qn2+qn1(q∈R，q≥3)
易得n4是n1、n2、n3、n4中的最大值，不妨设n4＞n3＞n2＞n1，
∵q≥3，qn4=q•qn4-1≥3qn4-1≥3qn3＞qn3+qn2+qn1，
∴an4=an3+an2+an1不成立．
因此，不存在q∈[3，+∞），使数列{an}中，某一项可以表示为另外三项之和．
点评：本题给出等比数列，要我们探索能否存在一项使它等于另外三项的和，着重考查了等比数列的通项公式和不等式的基本性质等知识，属于中档题．
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