Question

13．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=4．
（1）求直线AB₁与A₁C₁所成角；
（2）求点B到平面AB₁C的距离．

Answer 1

分析 （1）确定∠CAB₁（或其补集）等于直线AB₁与A₁C₁所成角，再求直线AB₁与A₁C₁所成角；
（2）利用等体积，求点B到平面AB₁C的距离．

解答 解：（1）∵A₁C₁∥AC，
∴∠CAB₁（或其补集）等于直线AB₁与A₁C₁所成角，
∵$A{B_1}=C{B_1}=4\sqrt{2}，AC=4$，
∴$cos∠CA{B_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴直线AB₁与A₁C₁所成角为$arccos\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
（2）设点B到平面AB₁C的距离为h，
由${V_{B-A{B_1}C}}={V_{{B_1}-ABC}}$，可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{32-4}$h=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×4$，
∴h=$\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$．
∴点B到平面AB₁C的距离为$\frac{{4\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查异面直线所成角，考查点面距离的计算，考查等体积的运用，属于中档题．