Question

19．设a、b、c、d是4个整致，且使得m=（ab+cd）²-$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²-d²）²是个非零整数，求证：|m|一定是个合数．

Answer 1

分析 把m=（ab+cd）²-$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²-d²）²进行因式分解，再由因式分解的结果及合数的定义进行解答．

解答 证明：要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p•q，p•q均为大于1的正整数即可．
m=（ab+cd）²-$\frac{1}{4}$（a²+b²-c²-d²）²，
=[ab+cd+$\frac{1}{2}$（a²+b²-c²-d²）]•[ab+cd-$\frac{1}{2}$（a²+b²-c²-d²）]，
=$\frac{1}{4}$（2ab+2cd+a²+b²-c²-d²）•（2ab+2cd-a²-b²+c²+d²），
=$\frac{1}{4}$[（a+b）²-（c-d）²]•[（c+d）²-（a-b）²]，
=$\frac{1}{4}$（a+b+c-d）（a+b-c+d）（c+d+a-b）（c+d-a+b）
因为m是非零整数，则 $\frac{1}{4}$（a+b+c-d）（a+b-c+d）（c+d+a-b）（c+d-a+b）是非零整数．
由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除，
所以四个数均为偶数．
所以可设a+b+c-d=2m₁，a+b-c+d=2m₂，a-b+c+d=2m₃，-a+b+c+d=2m₄，其中m₁，m₂，m₃，m₄均为非零整数．
所以m=（2m₁）（2m₂）（2m₃）（2m₄）=4m₁m₂m₃m₄，
所以|m|=4|m₁m₂m₃m₄|≠0，
所以|m|是一个合数．

点评 本题考查的是质数与合数的定义、因式分解、奇数与偶数的定义、绝对值的性质，涉及面较广，难度较大