Question

1．已知直线x+y=1与圆（x-a）²+（y-b）²=2（a＞0，b＞0）相切，则ab的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{3}{2}$]
• B． （0，$\frac{9}{4}$]
• C． （0，3]
• D． （0，9]

Answer 1

分析 直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r，求出a+b的值，再利用基本不等式求出ab的取值范围．

解答 解：直线x+y=1与圆（x-a）²+（y-b）²=2（a＞0，b＞0）相切，
则圆心C（a，b）到直线的距离为d=r，
即$\frac{|a+b-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|a+b-1|=2，
∴a+b-1=2或a+b-1=-2，
即a+b=3或a+b=-1（不合题意，舍去）；
当a+b=3时，ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=$\frac{9}{4}$，当且仅当a=b=$\frac{3}{2}$时取“=”；
又ab＞0，∴ab的取值范围是（0，$\frac{9}{4}$]．
故选：B．

点评 本题考查了直线与圆相切的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．