Question

11．如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50千米/时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机，问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少千米？

Answer 1

分析 设在A处追上汽车，速度为v，时间为t，用余弦定理表示出AM，得出v关于t的函数，得出v的最小值及其成立的条件．

解答 解：过M作公路的垂线MN，垂足为N，OM=5，MN=3，
∴sin∠MON=$\frac{MN}{OM}$=$\frac{3}{5}$，cos∠MON=$\frac{4}{5}$，ON=4．
设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，经过t小时后在A处追上汽车，则OA=50t，
在△MOA中，由余弦定理得AM²=25+2500t²-2×$5×50t×\frac{4}{5}$
=2500t²-400t+25，
又AM=vt，
∴v²t²=2500t²-400t+25，即v²=$\frac{25}{{t}^{2}}$-$\frac{400}{t}$+2500=25（$\frac{1}{t}$-8）²+900≥900，
∴当t=$\frac{1}{8}$时，V取得最小值30，此时，AM=vt=$\frac{15}{4}$．
故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了$\frac{15}{4}$公里．

点评 本题主要考查二次函数的性质，余弦定理的应用，属于中档题．