Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

，
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）当a=16时，判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性并用定义证明；
（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m-

m-1

+9恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过a的值是否为0，利用奇偶性的定义，直接判断f（x）的奇偶性；
（2）通过a=16，利用函数的单调性的定义判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性即可；
（3）当a=16时，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞m-

m-1

+9恒成立，转化为函数的最小值问题，然后求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x²，（x≠0）为偶函数；   …（2分）
当a≠0时，f（1）=1+a，f（-1）=1-a，
故f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1），所以f（x）无奇偶性．
综上得：当a=0时，f（x）为偶函数；当a≠0时，f（x）无奇偶性．…（5分）
（2）f(x)=x2+

16

x

，
任取0＜x₁＜x₂≤2，则f(x1)-f(x2)=

x

2 1

+

16

x1

-

x

2 2

-

16

x2

=

x1-x2

x1x2

[x1x2(x1+x2)-16]，
∵0＜x₁＜x₂≤2∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂（x₁+x₂）＜16，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，所以f（x）在区间（0，2]上递减．…（9分）
（3）由题意得f(x)min＞m-

m-1

+9，
由（2）知f（x）在区间（0，2]上是递减，同理可得f（x）在区间[2，+∞）上递增，
所以f（x）_min=f（2）=12，…（12分）
所以12＞m-

m-1

+9，即m-1-

m-1

-2＜0，
令

m-1

=t，(t≥0)，则t²-t-2＜0，解得-1＜t＜2，故0≤t＜2，
即0≤

m-1

＜2，即1≤m＜5．  …（16分）

点评：本题考查函数的恒成立，函数的单调性的应用，奇偶性的判断，分类讨论思想的应用，是中档题．