Question

6．定义m⊕n=n^m（m＞0，n＞0），已知数列{a_n}满足a_n=$\frac{n⊕3}{3⊕n}$（n∈N^*），若对任意正整数n，都有a_n≥${a_{n_0}}$（n₀∈N^*），则${a_{n_0}}$的值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{9}{8}$
• C． 1
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 由题意可得：a_n=$\frac{n⊕3}{3⊕n}$=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{3}}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$3（1-\frac{1}{n+1}）^{3}$=f（n），可知：f（n）关于n单调递增，经过假设可得：a₁＞a₂＞a₃＜a₄＜a₅＜…，即可得出．

解答 解：由题意可得：a_n=$\frac{n⊕3}{3⊕n}$=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{3}}$，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{（n+1）^{3}}$×$\frac{{n}^{3}}{{3}^{n}}$=$3（1-\frac{1}{n+1}）^{3}$=f（n），则f（n）关于n单调递增，
n=1时，f（1）=$\frac{3}{8}$＜1；n=2时，f（2）=$\frac{8}{9}$＜1；n≥3时，f（n）＞1．
∴a₁＞a₂＞a₃＜a₄＜a₅＜…，
∴n₀=3时，满足：对任意正整数n，都有a_n≥${a_{n_0}}$（n₀∈N^*），
${a}_{{n}_{0}}$=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{3}}$=1．
故选：C．

点评 本题考查了递推关系、数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．