Question

2．已知点A（3，-2）在抛物线C：x²=2py的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由题意先求出准线方程x=-2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，求出B的坐标，然后求解斜率即可．

解答 解：∵点A（3，-2）在抛物线C：x²=2py的准线上，
即准线方程为：y=-2，
∴p＞0，$-\frac{p}{2}$=-2即p=4，
∴抛物线C：x²=8y，在第一象限的方程为y=$\frac{1}{8}{x}^{2}$，
设切点B（m，n），则n=$\frac{1}{8}{m}^{2}$，
又导数y′=$\frac{1}{4}$x，则在切点处的斜率为$\frac{1}{4}$m，
∴$\frac{\frac{1}{8}{m}^{2}+2}{m-3}$=$\frac{1}{4}$m，即，m²-6m-16=0
解得：m=8或（-2（舍去），
∴切点B（8，8），又F（0，2），
直线BF的斜率为：$\frac{8-2}{8-0}$=$\frac{3}{4}$
故选：C．

点评 本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道中档题．