题目内容
11．已知双曲线C过点A（-$\sqrt{15}$，1），且与x2-3y2=1有相同的渐近线．（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l与双曲线交于A，B两点，求|AB|．
分析 （1）由题意，设双曲线C的方程为x2-3y2=λ，点A（-$\sqrt{15}$，1），代入可得λ，即可求双曲线C的标准方程；
（2）过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l方程为y=x-4，代入x2-3y2=12得x2-12x+30=0，利用弦长公式，求|AB|．
解答 解：（1）由题意，设双曲线C的方程为x2-3y2=λ，点A（-$\sqrt{15}$，1），代入可得λ=15-3=12，
∴x2-3y2=12，
∴双曲线C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
又由c2=a2+b2，得c=4，F2（4，0）
过双曲线C的一个焦点作倾斜角为45°的直线l方程为y=x-4，
代入x2-3y2=12得x2-12x+30=0，∴x=6±$\sqrt{6}$
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|=$\sqrt{2}•$|x1-x2|=4$\sqrt{3}$．
点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查弦长的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．
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已知点P是椭圆C上的任一点，P到直线l1：x=-2的距离为d1，到点F（-1，0）的距离为d2，且$\frac{{d}_{2}}{{d}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点F1，F2，过其中两个端点的直线斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过两个焦点和一个顶点的三角形面积为1．
如图，直线e、f为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）两条渐近线，F为右焦点，过点F作FM∥f，交e于M，交双曲线于R，且$\frac{FR}{FM}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，则双曲线的离心率的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．