Question

如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAAF；
（2）求证：AF⊥面CBF．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间向量及应用

分析：（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；
（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．

解答： 解：（1）设DF的中点为N，连接MN，
则MN∥

1

2

CD，MN=

1

2

CD，
又∵AO∥

1

2

CD，AO=

1

2

CD，
∴MN∥AO，MN=AO，
∴MNAO为平行四边形，
∴OM∥AN．
又∵AN?面DAF，OM?面DAF，
∴OM∥面DAF．
（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB?面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，
∴CB⊥面ABEF．
∵AF?面ABEF，
∴AF⊥CB．
又∵AB为圆O的直径，
∴AF⊥BF，
又∵CB∩BF=B，CB，BF?面CBF．
∴AF⊥面CBF．

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．