Question

2．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的单调区间；
（4）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）当x∈R时，根据函数奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式：
（2）描点画图即可，
（3）由图象直接得到函数的单调区间．
（4）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x²-4，
∴f（-x）=x²-4，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-x²+4，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4，x＜0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}-4，x＞0}\end{array}\right.$     
（2）图象如图所示：
（3）由图象可知，
单调递增区间（-∞，0），（0，+∞）
（4）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=x²₁-41-（x²₂-4）
=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵0＜x₁＜x₂，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）=x²-4在（0，+∞）为增函数．

点评 本题重点考查了函数为奇函数的概念和性质等知识，图象的画法和识别，以及定义法证明函数的单调性，属于中档题．