Question

1．若（sinθ+cosθ）²=2^x+2^-x，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），则$\frac{1}{sinθ}$=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用（sinθ+cosθ）²=2^x+2^-x，结合辅助角公式、基本不等式，得出sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，即可得出结论．

解答 解：∵sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴（sinθ+cosθ）²≤2，
∵2^x+2^-x≥2，（sinθ+cosθ）²=2^x+2^-x，
∴sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{sinθ}$=$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题考查三角函数值的计算，考查辅助角公式、基本不等式，属于中档题．