Question

6．设双曲线C以椭圆$\frac{x^2}{12}$+$\frac{y^2}{8}$=1的两个焦点为焦点，且双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+$\sqrt{2}$与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆与双曲线的关系，求出c，然后求解b，a，即可求解双曲线的方程．
（2）将$y=kx+\sqrt{2}$代入$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，利用直线l与双曲线C交于不同的两点，通过判别式大于0，求出k的范围，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理通过$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$，得x₁x₂+y₁y₂＞2，支行求解k的取值范围即可．

解答 （本小题满分13分）
解  （1）双曲线C以椭圆$\frac{x^2}{12}$+$\frac{y^2}{8}$=1的两个焦点为焦点，可得c=2，
双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1．可得b=1，则a²=3．
双曲线C方程为$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．
（2）将$y=kx+\sqrt{2}$代入$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，得$（1-3{k^2}）{x^2}-6\sqrt{2}kx-9=0$
由直线l与双曲线C交于不同的两点，得$\left\{\begin{array}{l}1-3{k^2}≠0\\△={（-6\sqrt{2}k）^2}+36（1-3{k^2}）=36（1-{k^2}）＞0\end{array}\right.$
所以${k^2}≠\frac{1}{3}$且k²＜1．①
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{6\sqrt{2}k}}{{1-3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-9}{{1-3{k^2}}}$
所以${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+\sqrt{2}）（k{x_2}+\sqrt{2}）$=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+\sqrt{2}k（{x_1}+{x_2}）+2=\frac{{3{k^2}+7}}{{3{k^2}-1}}$
又因为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$，得x₁x₂+y₁y₂＞2，所以$\frac{{3{k^2}+7}}{{3{k^2}-1}}＞2$
即$\frac{{-3{k^2}+9}}{{3{k^2}-1}}＞0$，解得$\frac{1}{3}＜{k^2}＜3$②
由①②得$\frac{1}{3}＜{k^2}＜1$
故k的取值范围为$（-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）∪（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$．

点评 本题考查椭圆与双曲线的关系，直线与双曲线的综合应用，考查设而不求以及转化思想，考查计算能力．