Question

设W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：
①对任意n∈N₊，

an+an+2

2

≤an+1恒成立；
②对任意n∈N₊，存在与n无关的常数M，使a_n≤M恒成立．
（1）数列{a_n}的前n项和S_n=2+5n-2ⁿ⁺¹，且数列{a_n}∈W，求M的最小值；
（2）若{b_n}是等差数列，S_n是其前n项和，且b₃=4，S₃=18，试探究数列{S_n}与集合W之间的关系．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由无穷数列的定义求得a_n，进而求得最小值；
（2）由（1）求得数列{b_n}的通项公式，由题意联立方程组求得首项和公差，进而求得s_n，即可得出结论．

解答： 解：（1）因为a₁=s₁=3，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2+5n-2ⁿ⁺¹-[2+5（n-1）-2ⁿ]=5-2ⁿ．…（3分）
n=1满足上式，所以a_n=5-2ⁿ（n∈N^*）．…（4分）
显然a_n=5-2ⁿ＞5-2^n-1=a_n-1（n≥2），即{a_n}为递减数列，…（5分）
所以a_n≤a₁=3，所以M的最小值为3．…（6分）
（2）设等差数列{b_n}的公差为d，依题意有

b1+2d=4 3b1+3d=18

，得b₁=8，d=-2．…（8分）
所以s_n=-n²+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，即当n=4或n=5时，s_n取得最大值20，即s_n≤20，符合②．…（10分）
于是

sn+sn+2

2

-s_n+1=

(-n2+9n)+[-(n+2)2+9(n+2)]

2

-[-（n+1）²+9（n+1）]=-1＜0
即对任意n，恒有

sn+sn+2

2

＜s_n+1符合①．      …（12分）
综上所述，有{s_n}∈W．．…（13分）

点评：本题属于新概念题，考查学生的阅读理解能力，考查了等差数列的性质及数列的单调性判断和利用数列与函数的关系求最大值知识，综合性强，属于难题．