Question

设（2-

3

x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰．求下列各式的值：
（1）a₀，a₁₀；
（2）（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₉）²．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）在（2-

3

x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ 中，令x=0可得 a₀的值．再根据 a₁₀为展开式中第11项的系数，可得它的值．
（2）在（2-

3

x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ 中，令x=1可得一个等式，再令x=-1可得另一个等式，再将这2个等式相乘，即可求得要求式子的值．

解答： 解：（1）在（2-

3

x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ 中，
令x=0可得 a₀=2¹⁰．
∴a₁₀为展开式中第11项的系数，即

C

10 10

•(-

3

)10=3⁵．
（2）在（2-

3

x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ 中，
令x=1可得a₀+a₁+a₂ +…+a₁₀=（2-

3

）¹⁰，
在（2-

3

x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ 中，
令x=0=-1可得a₀-a₁+a₂ -a₃…+a₁₀=（2+

3

）¹⁰，
将这2个等式相乘可得（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₉）²=（2-

3

）¹⁰•（2+

3

）¹⁰=[(2+

3

)(2-

3

)]10=1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于中档题．