Question

6．函数f（x）=lnx+$\frac{2a}{x+1}$-a（a∈R）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{9}{4}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，$\frac{9}{4}$]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 问题转化为a≤$\frac{{（x+1）}^{2}}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，令g（x）=$\frac{{（x+1）}^{2}}{2x}$，根据基本不等式的性质求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=lnx+$\frac{2a}{x+1}$-a（a∈R）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{（x+1）}^{2}-2ax}{{x（x+1）}^{2}}$，
若函数f（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增，
则（x+1）²-2ax≥0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{{（x+1）}^{2}}{2x}$在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{{（x+1）}^{2}}{2x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
则g（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$+1≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{1}{2x}}$+1=2，当且仅当x=1时“=”成立，
故a≤2，
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．