Question

已知点 N（1，0）和直线l：x=-1，坐标平面内一动点 P到 N的距离等于其到直线l：x=-1的距离．
（1）求动点 P的轨迹方程；
（2）若点 A（t，4）是动点 P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，问m取何值时，直线 A K与圆x²+（y-2）²=4相离．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（x，y），利用|x+1|=

(x-1)2+y2

，即可得到动点P的轨迹方程．
解法2：判断点P的轨迹是以点N为焦点，直线l为准线的抛物线求出p，即可得到动点P的轨迹方程．
（2）由A（t，4）在轨迹y²=4x上，求出t=4，得到A坐标，当m=4时，判断直线AK与圆的位置关系；当m≠4时，直线AK的方程为y=

4

4-m

(x-m)，通过圆心到直线AK的距离与半径的关系，得到m＞1时，直线AK与圆x²+（y-2）²=4相离．

解答： 解：（1）设P（x，y），则点P到l的距离|x+1|，|PN|=

(x-1)2+y2

…（2分）
由题意得，|x+1|=

(x-1)2+y2

，…（3分）
化简得y²=4x．所以动点P的轨迹方程为y²=4x．…（5分）
解法2：由题得点P的轨迹是以点N为焦点，直线l为准线的抛物线…（2分）
∴设P的轨迹方程为y²=2px，…（3分）
∴p=2，…（4分）
所以动点P的轨迹方程为y²=4x．…（5分）
（2）由A（t，4）在轨迹y²=4x上，则4²=4t，解得t=4，即A（4，4）．…（6分）
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x²+（y-2）²=4相离．…（7分）
当m≠4时，直线AK的方程为y=

4

4-m

(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0．…（8分）
圆x²+（y-2）²=4的圆心（0，2）到直线AK的距离d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，…（10分）
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＞2，…（11分）   
 解得m＞1．…（13分）
综上所述，当m＞1时，直线AK与圆x²+（y-2）²=4相离．…（14分）

点评：本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线方程的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．