Question

17．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}+a，x＞0}\\{{2^x}+a，x≤0}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=-x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥-1或a=-2$\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥-1时，2^x+a在x≤0时，与y=-x有一交点，而x+$\frac{1}{x}$+a在x＞0无交点，符合题意；
再考虑当a＜-1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．

解答 解：根据指数函数的图象易知：
当a≥-1时，y=2^x+a在x≤0时，与y=-x有一交点，y=x+$\frac{1}{x}$+a在x＞0与y=-x无交点，符合题意；
当a＜-1时，只需x+$\frac{1}{x}$+a=-x有且仅有一根，
△=a²-8=0，
解得a=-2$\sqrt{2}$．
故答案为a≥-1或a=-2$\sqrt{2}$．

点评 考查了分段函数的应用和图象的平移．