Question

8．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=a，∠BAB₁=∠B₁A₁C₁=30°，则异面直线AB₁与A₁C₁所成角的余弦值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作出图形，连接C₁D₁，DA₁，从而找到异面直线AB₁与A₁C₁所成角为∠A₁C₁D，根据条件求出△DA₁C₁的三边长度，根据余弦定理即可求出cos∠A₁C₁D的值．

解答 解：如图，连接C₁D，DA₁，则C₁D∥AB₁；
∴∠A₁C₁D是异面直线AB₁与A₁C₁所成角；
∵AA₁=a，∠BAB₁=∠B₁A₁C₁=30°；
∴${C}_{1}D=AB=\frac{a}{\frac{1}{2}}=2a$，${A}_{1}{B}_{1}=\sqrt{3}a$，${A}_{1}{C}_{1}=\frac{\sqrt{3}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2a$，B₁C₁=a，$D{A}_{1}=\sqrt{2}a$；
即在△A₁C₁D中，${C}_{1}D={A}_{1}{C}_{1}=2a，D{A}_{1}=\sqrt{2}a$；
∴由余弦定理得：$cos∠{A}_{1}{C}_{1}D=\frac{4{a}^{2}+4{a}^{2}-2{a}^{2}}{2•2a•2a}=\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 考查三角函数的定义，直角三角形的边的关系，以及异面直线所成角的概念及求法，余弦定理．