Question

下列命题中，真命题的个数是
①若f（x）=ln（2x），则f′（x）=

1

x

；
②若f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-10），则f′（2）=8!；
③若f（x）为可导函数，其导数f′（x）为偶函数，则原函数f（x）为奇函数；
④∫_-1¹[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=

3

+

2π

3

．（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用

分析：分别根据导数的运算公式以及积分的计算公式即可得到结论．

解答： 解：①若f（x）=ln（2x），则f′（x）=

1

2x

•2=

1

x

；正确，
②若f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）…（x-10）=（x-2）[（x-1）（x-3）…（x-10）]，
则f′（x）=[（x-1）（x-3）…（x-10）]+（x-2）[（x-1）（x-3）…（x-10）]′，
则f′（2）=1×（-1）（-2）…（-8）=8!，正确；
③若f（x）=3为可导函数，其导数f′（x）=0为偶函数，但原函数f（x）为偶函数；故③错误，
④∫_-1¹[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=∫_-1¹[

4-x2

dx+∫_-1¹lg（

1+x2

-x）]dx，
∵lg（

1+x2

-x）]dx是奇函数，∴∫_-1¹lg（

1+x2

-x）]dx=0，
∫_-1¹[

4-x2

dx的几何意义为半径为2的半圆的面积，则∫_-1¹[

4-x2

dx=

1

2

×π×22=2π，
故∫_-1¹[

4-x2

+lg（

1+x2

-x）]dx=2π，则④错误，
故正确的是①②，
故选：B

点评：本题主要考查与导数运算有关的命题的真假判断，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及积分的计算．