Question

如图，在直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线l交抛物线y²=2x于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂与y₁ y₂的值；
（2）以线段MN为直径作圆H（H为圆心），证明抛物线的顶点在圆H的圆周上．

Answer 1

分析：（1）先设出直线方程，联立抛物线方程消去x可得y²-2my-4=0，再根据点M，N的纵坐标y₁与y₂是上述方程的根，可求出
y₁ y₂的值；最后根据M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点是抛物线上的点代入再结合上面求的结论即可求出求x₁x₂的值；
（2）设直线OM，ON斜率分别为k₁，k₂，求出k₁•k₂=

y1•y2

x1•x2

=

-4

4

=-1即可证明结论．

解答：解：（1）因为直线l不可能是X轴，所以设l的方程为x=my+2，
将其代入y²=2x，消去x可得y²-2my-4=0，
点M，N的纵坐标y₁与y₂是上述方程的根，故y₁•y₂=-4．
由y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，相乘得（y₁y₂）²=4x₁x₂，
所以x₁•x₂=

(y1y2)2

4

=4．
（2）证明：直线OM，ON斜率分别为k₁，k₂，
则k1=

y1

x1

，k2=

y2

x2

．
因此k₁•k₂=

y1•y2

x1•x2

=

-4

4

=-1．
所以OM⊥ON．
所以抛物线的顶点O在圆H的圆周上．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题以及直线与圆的综合问题．考查考学分析问题和解决问题的能力．