Question

2．已知$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|=4，求：
（1）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据条件可先求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-10$，而$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$，进行数量积的运算便可求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$；
（2）根据一个向量在另一个向量方向上投影的定义便可得出所求投影为$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$，然后进行数量积的运算便可得出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-10$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{25-20+16}=\sqrt{21}$；
（2）向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为：$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•cos＜（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}），\overrightarrow{a}＞$=$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{25-10}{5}=3$．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，根据$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$求向量长度的方法，以及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义．