Question

18．各项都是正数的等比数列{a_n}中，3a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，则$\frac{{a}_{10}+{a}_{12}+{a}_{15}+{a}_{19}+{a}_{20}+{a}_{23}}{{a}_{8}+{a}_{10}+{a}_{13}+{a}_{17}+{a}_{18}+{a}_{21}}$=9．

Answer 1

分析 设等比数列的公比为q，由等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，化简整理即可得到所求值．

解答 解：设各项都是正数，且公比为q的等比数列{a_n}中，
3a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，
可得a₃=3a₁+2a₂，
即为a₁q²=3a₁+2a₁q，
即q²-2q-3=0，解得q=3或q=-1（舍去），
则a_n=a₁3^n-1，
则$\frac{{a}_{10}+{a}_{12}+{a}_{15}+{a}_{19}+{a}_{20}+{a}_{23}}{{a}_{8}+{a}_{10}+{a}_{13}+{a}_{17}+{a}_{18}+{a}_{21}}$=$\frac{{a}_{10}（1+{q}^{2}+{q}^{5}+{q}^{9}+{q}^{10}+{q}^{13}）}{{a}_{8}（1+{q}^{2}+{q}^{5}+{q}^{9}+{q}^{10}+{q}^{13}）}$
=$\frac{{a}_{10}}{{a}_{8}}$=q²=9．
故答案为：9．

点评 本题考查等比数列的通项公式的运用，同时考查等差数列中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．