Question

13．已知A（a，0）（a＞0），B（0，a），E（-4，0），F（0，4），设△AOB的外接圆圆心为C，点P在圆C上，使△PEF的面积为12的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是（2，10）．

Answer 1

分析 由题意和截距式方程求出直线EF的方程，根据A、B的坐标和△AOB为等腰直角三角形，求出它的外接圆圆心C的坐标、半径，由点到直线的距离公式求出C到直线EF的距离，由△PEF的面积为12求出点P到直线的距离，画出图象，根据图象画出临界线，分别求出a的值，结合图象求出实数a的取值范围．

解答 解：∵E（-4，0）、F（0，4），
∴直线EF方程为x-y+4=0，
∵A（a，0）（a＞0），B（0，a），
∴△AOB的外接圆圆心为C（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
半径r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴圆心C的轨迹方程是y=x（x＞0），图中的红色虚线，
且圆心C到直线EF的距离为$\frac{|\frac{a}{2}-\frac{a}{2}+4|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
由E（-4，0）、E（0，4）得|EF|═4$\sqrt{2}$，
设P到直线CD的距离为d，
则△PCD的面积S=$\frac{1}{2}$|CD|×d=12，
即$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×d=12，解得d=3$\sqrt{2}$，
如图所示：
过M、N与直线EF平行，与⊙C相切，且点M、N到直线EF的距离是3$\sqrt{2}$，
则△PEF的面积为12的点P分别是三个、一个，
且2$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$或2$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}a$=3$\sqrt{2}$，解得a=10或a=2，
因此，当2＜a＜10时使△PEF的面积等于12的点P有且只有两个，
所以实数a的取值范围是（2，10），
故答案为：（2，10）．

点评 本题直线与圆的位置关系，直线与圆的方程，点到直线的距离公式，以及数形结合思想，属于中档题．