Question

设函数
（1）当时，求的最大值；
（2）令，以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

（1）0；（2）；（3）1

试题分析：（1）当时，     1分
解得或（舍去）                 2分
当时，，单调递增，
当时，，单调递减                  3分
所以的最大值为                                4分
(2)    6分
由恒成立得恒成立         7分
因为，等号当且仅当时成立            8分
所以                                                   9分
（3）时，方程即
设，解
得(<0舍去)，
在单调递减，在单调递增，最小值为      11分
因为有唯一实数解，有唯一零点，所以    12分
由得，
因为单调递增，且，所以           13分
从而                                                       14分
点评：此类问题是在知识的交汇点处命题，将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查，重点考查了利用导数研究函数的极值与最值等知识