题目内容
18．
如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a2＜$\int_a^{a+1}{\;}$x2dx＜（a+1）2．类比之，若对?n∈N*，不等式$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$＜A＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n-1}$恒成立，则实数A等于（ ）| A． | ln$\frac{5}{2}$ | B． | ln 2 | C． | $\frac{1}{2}$ln 2 | D． | $\frac{1}{2}$ln 5 |
分析 令A=A1+A2+A3+…+An，根据定积分的定义得到：A1=-lnn+ln（n+1），同理求出A2，A3，…，An的值，相加求出即可．
解答 解：令A=A1+A2+A3+…+An，
由题意得：$\frac{1}{n+1}$＜A1＜$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{n+2}$＜A2＜$\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{n+3}$＜A3＜$\frac{1}{n+2}$，…，$\frac{1}{2n}$＜An＜$\frac{1}{2n-1}$，
∴A1=${∫}_{n}^{n+1}\frac{1}{x}$dx=lnx|${\;}_{n}^{n+1}$=ln（n+1）-lnn，
同理：A2=-ln（n+1）+ln（n+2），A3=-ln（n+2）+ln（n+3），…，An=-ln（2n-1）+ln2n，
∴A=A1+A2+A3+…+An
=-lnn+ln（n+1）-ln（n+1）+ln（n+2）-ln（n+2）+ln（n+3）-…-ln（2n-1）+ln2n
=ln2n-lnn
=ln2，
故选：B．
点评 本题考察了定积分的简单应用，根据定积分的定义得到A1，A2，A3，…，An的值是解题的关键，本题是一道中档题．
练习册系列答案
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8．三个数40.2，30.4，log0.40.5的大小顺序是（ ）
| A． | 30.4＜40.2＜log0.40.5 | B． | ${3^{0.4}}＜{log_{0.4}}0.5＜{4^{0.2}}$ | ||
| C． | ${log_{0.4}}0.5＜{3^{0.4}}＜{4^{0.2}}$ | D． | ${log_{0.4}}0.5＜{4^{0.2}}＜{3^{0.4}}$ |
如图所示，四边形AMNC为等腰梯形，△ABC为直角三角形，平面AMNC与平面ABC垂直，AB=BC，AM=CN，点O、D、E分别是AC、MN、AB的中点．过点E作平行于平面AMNC的截面分别交BD、BC于点F、G，H是FG的中点．