题目内容
13．双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是E坐支上一点，且|PF1|=|F1F2|，直线PF2与圆x2+y2=a2相切，则E的离心率为$\frac{5}{3}$．分析 设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF1，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．
解答 
解：设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，
则|OM|=a，OM⊥PF2，
取PF2的中点N，连接NF1，
由于|PF1|=|F1F2|=2c，则NF1⊥PF2，|NP|=|NF2|，
由|NF1|=2|OM|=2a，
则|NP|=2b，
即有|PF2|=4b，
由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b2=（c+a）2，即4（c2-a2）=（c+a）2，
4（c-a）=c+a，即3c=5a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故答案为$\frac{5}{3}$．
点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．
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3．已知函数$f（x）=x+\frac{1}{x}（{x≠0}）$，命题p：?x＞0，f（x）≥2，命题q：?x0＜0，f（x0）≤-2，则下列判断正确的是（ ）
| A． | p是假命题 | B． | ￢q是真命题 | C． | p∨（￢q）是真命题 | D． | （￢p）∧q是真命题 |
1．已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，则直线l的斜率为（ ）
| A． | 2 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
18．
如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a2＜$\int_a^{a+1}{\;}$x2dx＜（a+1）2．类比之，若对?n∈N*，不等式$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$＜A＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n-1}$恒成立，则实数A等于（ ）
如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a2＜$\int_a^{a+1}{\;}$x2dx＜（a+1）2．类比之，若对?n∈N*，不等式$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}$＜A＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n-1}$恒成立，则实数A等于（ ）| A． | ln$\frac{5}{2}$ | B． | ln 2 | C． | $\frac{1}{2}$ln 2 | D． | $\frac{1}{2}$ln 5 |
2．若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=（ ）
| A． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $-\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
3．将函数y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象上所有的点向左平移$\frac{π}{4}$个的单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ）
| A． | y=sin（2x+$\frac{5π}{12}$） | B． | y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{5π}{12}$） | C． | y=sin （$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{12}$） | D． | y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{5π}{24}$） |