Question

已知函数y=h（x）的图象与函数y=a^x（a＞1）的图象关于直线y=x对称，f（x）=h（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log_a

p

m

，log_a

p

n

]，求实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=log_a（x²-3x+3），F（x）=a^{f（x）-g（x）}，其中a＞1．若w≥F（x）对?x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=h（x+1）=log_a（x+1）；
（Ⅱ）由题意可得f（m）=log_a（m+1）=log_a

p

m

，f（n）=log_a（n+1）=log_a

p

n

；从而可得m，n是方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，+∞）上有两个不同的根，从而解出p；
（Ⅲ）化简F（x）=a^{f（x）-g（x）}=

x+1

x2-3x+3

=

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

，（x＞-1）；从而化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=h（x+1）=log_a（x+1）；
（Ⅱ）∵a＞1，
∴f（x）在（-1，+∞）上为增函数，
∴f（m）=log_a（m+1）=log_a

p

m

，
f（n）=log_a（n+1）=log_a

p

n

；
故m+1=

p

m

，n+1=

p

n

；
则m，n是方程x+1=

p

x

的两个不同的根；
即m，n是方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，+∞）上有两个不同的根；
故

△=1+4p＞0 1-1-p＞0 - 1 2 ＞-1

解得，-

1

4

＜p＜0；
（Ⅲ）F（x）=a^{f（x）-g（x）}=

x+1

x2-3x+3

=

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

，（x＞-1）；
∵（x+1）+

7

x+1

-5≥2

7

-5；
（当且仅当x=

7

-1时，等号成立）
∴

1

(x+1)+ 7 x+1 -5

∈（0，

2 7 +5

3

]，
则若使w≥F（x）对?x∈（-1，+∞）恒成立，
则w≥

2 7 +5

3

．

点评：本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，同时考查了恒成立问题，属于难题．