Question

19．已知数列{log_ab_n}（a＞0且a≠1）是首项为2，公差为1的等差数列，若数列{a_n}是递增数列，且满足a_n=b_nlgb_n，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{2}{3}$，1）
• B． （2，+∞）
• C． （$\frac{2}{3}$，1）∪（1，+∞）
• D． （0，$\frac{2}{3}$）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由题意求出${b}_{n}={a}^{n+1}$，得到a_n=b_nlgb_n=aⁿ⁺¹•lgaⁿ⁺¹=（n+1）aⁿ⁺¹lga，再由数列{a_n}为递增数列，可得nlga＜（n+1）alga（n≥2）．然后转化为关于a的不等式组结合恒成立问题求得答案．

解答 解：∵数列{log_ab_n}（a＞0且a≠1）是首项为2，公差为1的等差数列，
∴log_ab_n=2+1×（n-1）=n+1，
∴${b}_{n}={a}^{n+1}$，
由a_n=b_nlgb_n=aⁿ⁺¹•lgaⁿ⁺¹=（n+1）aⁿ⁺¹lga为递增数列，
且${a}_{n-1}=（n-1+1）{a}^{n-1+1}lga=n{a}^{n}lga$（n≥2），
可得naⁿlga＜（n+1）aⁿ⁺¹lga（n≥2）．
由a＞0且a≠1，得nlga＜（n+1）alga（n≥2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{lga＜0}\\{（n+1）a-n＜0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{lga＞0}\\{（n+1）a-n＞0}\end{array}\right.$②．
由①得，0$＜a＜\frac{2}{3}$；
由②得，a＞1．
综上，实数a的取值范围是（0，$\frac{2}{3}$）∪（1，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了数列的函数特性，考查数学转化思想方法，属中档题．