(1)若$|\overrightarrow a|=2$.$|\overrightarrow b|=1$.且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为60°.求$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$．(2)若tanθ=2.求$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{sinθ+cos� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．（1）若$|\overrightarrow a|=2$，$|\overrightarrow b|=1$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角为60°，求$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$．
（2）若tanθ=2，求$\frac{{2{{cos}^2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}}{sinθ+cosθ}$的值．

分析（1）根据条件可以求出${\overrightarrow{a}}^{2}=4，{\overrightarrow{b}}^{2}=1，\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$，从而进行数量积的运算便可求出$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$的值，从而可得出$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的值；
（2）由tanθ=2，根据切化弦公式即可得到sinθ=2cosθ，而由二倍角的余弦公式可得到$2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-1=cosθ$，从而原式=$\frac{cosθ-sinθ}{sinθ+cosθ}$，代入sinθ=2cosθ便可求出原式的值．

解答解：（1）根据条件，$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=16-4+1=13；
∴$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$；
（2）tanθ=2；
∴$\frac{sinθ}{cosθ}=2$；
∴sinθ=2cosθ；
∴$\frac{2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-sinθ-1}{sinθ+cosθ}=\frac{cosθ-sinθ}{sinθ+cosθ}$
=$\frac{cosθ-2cosθ}{2cosθ+cosθ}$
=$-\frac{1}{3}$．

点评考查向量数量积的运算及计算公式，要求$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$而求$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$的方法，以及切化弦公式，二倍角的余弦公式．