题目内容
8．f（x）=x2+2f′（2）x+3，则${∫}_{-3}^{0}$[$\sqrt{9-{x}^{2}}$+f（x）]dx=（ ）| A． | -54$+\frac{9π}{2}$ | B． | -54+9π | C． | 54$+\frac{9π}{2}$ | D． | 54+9π |
分析 对原函数两边求导，再将x=2代入先求出f′（2）的值，再根据计算定积分的公式和定积分的几何意义即可求出．
解答 解：∵f（x）=x2+2f′（2）x+3，
∴f′（x）=2x+2f′（2），
当x=2时，有：f′（2）=4+2f′（2），
∴f′（2）=-4，
∴f（x）=x2-8x+3，
∵${∫}_{-3}^{0}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心以3为半径的圆的面积的四分之一，
∴${∫}_{-3}^{0}$$\sqrt{9-{x}^{2}}$dx=$\frac{9π}{4}$，
∵${∫}_{-3}^{0}$（x2-8x+3）dx=（$\frac{1}{3}$x3-4x2+3x）|${\;}_{-3}^{0}$=-（-9-36-9）=54，
∴${∫}_{-3}^{0}$[$\sqrt{9-{x}^{2}}$+f（x）]dx=54+$\frac{9π}{4}$，
故选：C．
点评 本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等基础知识，属于中档题．
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| A． | （$\frac{2}{3}$，1） | B． | （2，+∞） | C． | （$\frac{2}{3}$，1）∪（1，+∞） | D． | （0，$\frac{2}{3}$）∪（1，+∞） |
