Question

【题目】如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.

（1）求点到平面的距离；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

解法一：（1）等体积法．

取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD．

又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，MO∥平面ABC．M、O到平面ABC的距离相等．

作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC．

求得OH=OC，

MH=．

设点到平面的距离为d，由得．

即，

解得．

（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面与平面的交线．

由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.

因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

，

，.

则所求二面角的正弦值为

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则

OB⊥CD，OM⊥CD．又平面平面,则MO⊥平面.

取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB=OM=，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，-，）.

（1）设是平面MBC的法向量，则,.

由得；

由得．

取．，则

．

（2），.

设平面ACM的法向量为，由得解得，，取.又平面BCD的法向量为.

所以，

设所求二面角为，则.