Question

7．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CA}+（1-t）\overrightarrow{CB}$，若∠ACD=60°，则t的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． $\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 易知A，B，D三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CA}+（1-t）\overrightarrow{CB}$，
∴A，B，D三点共线，
∴由题意建立如图所示坐标系，
设AC=BC=1，
则C（0，0），A（1，0），B（0，1），
直线AB的方程为x+y=1，
直线CD的方程为y=$\sqrt{3}$x，
故联立解得，x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，y=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
故D（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），
故$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（1，0），$\overrightarrow{CB}$=（0，1），
故t$\overrightarrow{CA}$+（1-t）$\overrightarrow{CB}$=（t，1-t），
故（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）=（t，1-t），
故t=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了平面向量坐标运算的应用，考查平面向量基本定理，属于中档题．