Question

2．已知函数f（x）=x²-ax的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y+2=0垂直，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₇的值为$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线垂直时斜率之积为-1的条件，可求a，代入可求f（n），利用裂项求和即可求．

解答 解：∵f（x）=x²-ax，
∴f′（x）=2x-a，
∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2-a，
∵切线l与直线x+3y+2=0垂直，∴（2-a）•（-$\frac{1}{3}$）=-1，
∴a=-1，f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₇=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故答案为：$\frac{2017}{2018}$．

点评 本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线垂直时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用，属于中档题．