Question

13．已知函数f（x）=x²+alnx（a≠0，a∈R）．
（1）若对任意实数x∈[1，+∞），使得f（x）≥（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对n∈N⁺，不等式$\frac{1}{ln（n+1）}+\frac{1}{ln（n+2）}+…+\frac{1}{ln（n+2016）}＞\frac{2016}{n（n+2016）}$成立．

Answer 1

分析 （1）由题意可知设g（x）=x²+alnx-（a+2）x，求导，当$\frac{a}{2}≤1$时，g（1）=1-（a+2）≥0，求得a≤-1，$\frac{a}{2}＞1$时，题意不能满足，即可求得实数a的取值范围；
（2）由（1）可知，当a=-1时有：x²-lnx≥x，当 x＞1时   $\frac{1}{lnx}＞\frac{1}{x（x-1）}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$，采用“裂项法”即可求得$\frac{1}{ln（n+1）}+\frac{1}{ln（n+2）}+…+\frac{1}{ln（n+2016）}＞\frac{2016}{n（n+2016）}$成立．

解答 解：（1）依题意  x²+alnx-（a+2）x≥0在x∈[1，+∞）恒成立，
记g（x）=x²+alnx-（a+2）x，
则：${g^'}（x）=2x+\frac{a}{x}-（a+2）=\frac{（x+1）（2x-a）}{x}$
当$\frac{a}{2}≤1$时，g（1）=1-（a+2）≥0，
∴a≤-1，
当$\frac{a}{2}＞1$时，题意不能满足，综上所述a≤-1…．（6分）
（2）证明：由（1）当a=-1时有：x²-lnx≥x
∴当 x＞1时   $\frac{1}{lnx}＞\frac{1}{x（x-1）}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$，
∴：$\frac{1}{ln（n+1）}+\frac{1}{ln（n+2）}+…\frac{1}{ln（n+2016）}＞$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+…\frac{1}{n+2015}-$$\frac{1}{n+2016}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2016}=\frac{2016}{n（n+2016）}$…..（12分）

点评 本题考查导数的运算法则，考查利用导数求函数的极值，采用“裂项法”求数列的前n和，考查计算能力，属于中档题．