Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过F且倾斜角为60°的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．

解答 解：依题意，斜率为$\sqrt{3}$的直线l过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）
的右焦点为F且与双曲线的左右两支分别相交，
结合图形分析可知，
双曲线的一条渐近线的斜率$\frac{b}{a}$必大于$\sqrt{3}$，
即$\frac{b}{a}$＞$\sqrt{3}$，
因此该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\sqrt{1+3}$=2．
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查直线的斜率，双曲线的应用，考查转化思想，是基础题．