Question

16．已知|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=1，（2$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=17．
（Ⅰ）求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角和|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|的值；
（Ⅱ）设$\overrightarrow c$=m$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$，$\overrightarrow d$=2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，若$\overrightarrow c$与$\overrightarrow d$共线，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量数量积的定义和应用即可求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角和|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|的值；
（Ⅱ）根据向量共线的等价条件建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，
∵$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=17$∴$4{\overrightarrow a^2}-4\overrightarrow a\overrightarrow{•b}-3{\overrightarrow b^2}=17$，
即4×2²-4×2×1×cosθ-3×1²=17--------------------------（3分）
∴$cosθ=-\frac{1}{2}$，又∵0≤θ＜π，∴$θ=\frac{2π}{3}$．
所以$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角$\frac{2π}{3}$．--------------------------------------------------（5分）
∵$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}^2}}=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{\overrightarrow b}^2}}=\sqrt{{2^2}+2×2×1×cos\frac{2π}{3}+{1^2}}=\sqrt{3}$．
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{3}$．--------------------------------------------------（8分）
（Ⅱ）解：因为$\overrightarrow c$与$\overrightarrow d$共线，所以存在λ，
使$λ\overrightarrow d=\overrightarrow c$$λ（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=m\overrightarrow a+2\overrightarrow b$$（m-2λ）\overrightarrow a+（λ+2）\overrightarrow b=0$
因为$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$不共线，所以 $\left\{\begin{array}{l}m=2λ\\ λ=-2\end{array}\right.$所以，m=-4--------------------------------（12分）

点评 本题主要考查向量数量积的应用以及向量共线的应用，考查学生的运算和转化能力．